1.3 행렬식: 영공간 Null Space(Ker A), Im A 상(rank)

행렬식은 부피다. 2차원이든 3차원이든 그림으로 그려보고 면적을 구하면, 놀랍게도 행렬식과 같은 값을 가지게 된다. 

 

기억은 안나지만, 맨 처음에 아무렇게나 집었던 선형대수 교재에서는 행렬식을 행렬을 요약하는 수 라고 해석을 했다. 지금 생각하면, 도대체 그게 뭔 소리일까 생각이 든다. 

 

그럼 행렬식의 숫자가 가지고 있는 의미는 무엇인가?

 

3D 작업을 하는 사람들 입장에서 부피를 나타내는 행렬식은 의미가 있을 수 있다. 하지만 딥러닝에서는 크게 의미가 없다고 생각을 한다. 

 

책에서도 부피를 계산하는 법에 대해 많은 설명을 하지(가우스 소거법, 혹은 가우스 조던 소거법), 딱히 부피를 가지고 무엇을 하는 내용은 없다. 

 

오히려 행렬식의 중요 의미는 행렬식의 값이 0이 되는가 아닌가에 중점을 두었다.

 

행렬은 사상(mapping)이다 라고 많은 책과 강의에서 언급을 한다. 차원을 옮기는 혹은 변환하는 과정을 행렬로 압축했다고 볼 수 있다. 

 

그리고 "차원이 감소하면 행렬식은 0이 된다".

 

이 특징은 역행렬과 관계가 밀접하지만 먼저 가장 많이 다루는 ker(A), Im(A)에 대해 다루겠다. 

 

1. Im(A): Rank, 상(Image)

먼저 행렬은 벡터가 통과하면서 변환하는 과정이라고 볼 수 있다. 즉 행렬은 "함수"라는 관점으로 바라봐야 한다

여기서 중요한 성질은 벡터의 차원이 변화한다는 것이다.

벡터의 차원이 줄어드는 것을 행렬이라는 함수를 통해서 나타난 결과라고 하는데, 이것을 필자는 "함수 A가 내뱉는 결과물의 차원 크기"는 "행렬 A가 image 한 결과"(image가 이미지 라는 사진이라는 뜻 말고도, 사영하다 라는 뜻도 있다) 오히려 이 단어는 한국어로 볼때 더 헷갈리는 경우가 많았다. 그리고 이 의미는 선형대수에 자주 나오는 Rank랑도 같은 의미다. 

 

간단히 요약하면 "Im(A)는 행렬이 내뱉는 변환된 벡터의 차원의 크기"를 의미한다. 

 

2. ker(A): Null Space 영공간

영공간, "공간"이라는 이름 때문에 "열공간, 행공간, 부분공간"등등 같은 의미로 생각하는 사람들이 많았는데, 필자도 그러했다. 

 

일단 "공간"이라는 단어가 들어갈때는 항상 차원의 크기를 물어보기 위함이라고 필자는 생각한다.

 

여기 영공간 Null Space는 "행렬 A에 의해서 축소된 벡터의 차원의 크기"를 의미한다. 

 

많은 이론에 통합적으로 적용되기 위해서인지 아니면 필자의 이해력 부족인지 책에서는 참 복잡하게도 설명을 길게도 했다

 

"n = ker A + Im A" 여기서 n이 의미하는 것은 행렬 A를 거치기전의 벡터의 차원 크기를 의미한다.

 

행렬의 행렬식이 0이 되는 순간, ker A > 0 이 성립하는 것이고, 여기서 차원이 축소되면서 "대부분의 좌표 정보가 유실된다고 볼 수 있다" 그 뜻은 행렬식이 0이 되면 해당 행렬은 역행렬이 존재 하지 않는다는 것이고, 역행렬은 "되돌린다"라는 의미를 가지고 있다는 것을 기억하면, 해당 행렬은 한번 시행되면 원래대로 복구 할 수 없는 성질을 가지고 있다는 의미다. 

 

그리고 이 성질을 피하고자 혹은 이용하고자 행렬식을 활용하는 사례도 종종 있을 것이다.